Les ondes de Chladni. (Nature)
- Par Thierry LEDRU
- Le 11/01/2016
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Figure de Chladni
https://fr.wikipedia.org/wiki/Figure_de_Chladni
Plusieurs figures de Chladni sur des plaques en laiton, de formes variées.
Lorsqu'on place une poudre1 sur une plaque en vibration, on observe l'apparition de motifs géométriques, ceux-ci évoluant avec la fréquence de vibration de la plaque. La matérialisation de ces lignes forme les figures dites de Chladni, au nom du savant allemand Ernst Chladni.
Ces motifs dévoilent l'emplacement de lignes nodales, c'est-à-dire de lignes formées des nœuds de vibration, là où les ondes sont destructives et l'amplitude nulle. Ces dernières sont caractéristiques du mode propre excité.
Fonctionnement
Une plaque horizontale est fixée de manière rigide sur un support central. Elle peut être de taille, de forme et d'épaisseur variée. Historiquement, les plaques utilisées par Chladni étaient en métal, mais de nombreux matériaux2 permettent la formation de motifs nets et nombreux.
Apparition d'une figure de Chladni avec un archet.
Une fois la plaque fixée au support, on dispose du sable sur celle-ci puis on la met en vibration, par exemple grâce à un archet que l'on frotte verticalement sur le bord de la plaque. Sous l'excitation de l'archet, la plaque vibre, et le sable se déplace depuis les zones de forte vibration vers les zones où elle est moins forte, voire nulle (respectivement ventres et nœuds de vibration de l'onde stationnaire), formant ainsi des figures de Chladni. La pratique actuelle est de mettre les plaques en vibration par un vibreur de Melde3.
Apparition d'une figure de Chladni avec un vibreur de Melde.
Dans le cas du vibreur de Melde, le point central possède une condition sur son mouvement4, tandis que la périphérie de ces plaques n'est pas assujettie au support. Elle est donc libre de vibrer5.
En étudiant une même plaque, la modification de la fréquence d'excitation fait apparaitre des figures différentes, de plus en plus complexes, qui correspondent aux modes vibratoires de cette plaque. On peut atténuer la vibration à certains endroits en y posant un doigt, ce qui va rompre en partie le motif. Des nouvelles figures apparaissent lorsqu'on modifie les paramètres de la plaque (forme, taille, épaisseur, etc.).
Il existe une très grande variété de motifs (une infinité) selon les caractéristiques de la plaque et la manière dont on la fait vibrer. Cependant en pratique, on n'observe que 4 à 15 motifs par plaque, car au-dessus d'une certaine fréquence, la plaque vibre trop peu en amplitude pour permettre le déplacement des grains, et alors aucune figure n'apparaît.
Histoire
Le phénomène d'apparition de motifs sur une plaque en vibration est repéré dès 1638 par Galilée6. Une quarantaine d'années plus tard, en 1680, des expériences plus poussées sont réalisées par Robert Hooke, qui met en vibration de la farine sur des plaques de verre.
Pourtant, si ces figures portent le nom d'Ernst Chladni, c'est par la publication par ce dernier en 1787 du traité Entdeckungen über die Theorie des Klanges7, qui popularise le phénomène dans la communauté scientifique en Europe. Chladni utilisait des plaques de métal, sur lesquelles il faisait vibrer du sable avec un archet.
En 1808, Chladni se rend à l'académie de Paris. Il reproduit le phénomène devant les plus grands scientifiques français de l'époque, mais également devant l'empereur Napoléon Ier. Ce dernier, impressionné, organise alors un concours pour établir une modélisation mathématique du phénomène. Elle sera apportée, au bout de trois essais entre 1811 et 1816, à la suite des rejets de l'académie, par Sophie Germain.
Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, par Sophie Germain en 1821.
Les figures de Chladni ont aussi été étudiées par Poisson, Legendre, et par de nombreux physiciens et mathématiciens modernes ou plus anciens.
Utilisations
Les figures de Chladni peuvent être utilisées en facture instrumentale pour contrôler la qualité ou l'acoustique d'un instrument.
Figures de Chladni sur le dos d'une guitare.
Cette méthode, tout de même assez rare, est surtout utilisée par des luthiers traditionnels. En mettant en vibration la pièce avant assemblage, la rupture de symétrie des motifs sur le dos de l'instrument indique les zones d'inhomogénéité. C'est une méthode qualitative ; elle peut indiquer une différence d'épaisseur à certains endroits ou une différence de masse volumique de la plaque.
Phénomène physique
Les figures de Chladni sont une visualisation directe d'ondes stationnaires dans un milieu en deux dimensions (la largeur de la plaque est négligée). Le phénomène est analogue à l'expérience de la corde de Melde.
Les ondes sont envoyées depuis un point de la plaque (archet ou vibreur de Melde) ou sur chaque point de la plaque (haut-parleur), puis vont parcourir la plaque de nombreuses fois avant de s'éteindre. Certaines zones vont plus ou moins être soumises aux vibrations ; la poudre va s'intercaler dans les zones où les vibrations sont les moins fortes, c'est-à-dire les lignes nodales (formées par les nœuds de vibration).
Le sable s'intercale au niveau des points rouges, là où l'amplitude des ondes stationnaires est minimale.
Cependant, comme pour la corde de Melde, ces figures ne sont pas toujours présentes ; elles n'apparaissent qu'à certaines fréquences : ce sont les modes propres de vibration.
Table de motifs ; on y repère différents modes propres de vibration ; deux plaques différentes amènent à deux tables différentes.
Les figures de Chladni sont l'expression physique de fonctions d'onde, solutions de l'équation des ondes en dimension trois ; plus précisément elles sont une tranche de solution, comme si la solution en 3D était sectionnée par un plan ; c'est la plaque qui joue le rôle du plan.
En physique quantique, ces ondes sont analogues aux solutions de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron. Schrödinger s'est d'ailleurs inspiré des équations décrivant mathématiquement les figures de Chladni pour la compréhension des orbitales atomiques8.
Les figures de Chladni sont aussi liées au phénomène d'instabilité de Faraday.
Exemples de motifs
Figure de Chladni
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